9 Trigonometri Dalam Kehidupan Sehari Hari (Artikel 1&2)

---

Jangan Lupa Kembali lagi y...!

---

Trigonometri merupakan alat utama ilmu ukur segitiga. Tigonometri memiliki banyak aplikasi pada kehidupan sehari-hari, diantaranya pada bidang teknik sipil dan astronomi.   Trigonometri memili kaitan yang sangat erat dalam kehidupan kita, baik secara langsung dan tidak langsung. Ilmu perbintangan dan konstruksi bangunan sangat dibantu oleh hadirnya trigonometri. Seiring perkembangan jaman, trigonometri terus dikempangan, dipadukan dengan disiplin kelimuan lain guna kemaslahatan bersama. Sebagai bagian dari rentetan artikel tentang aplikasi matematika dalam kehidupan sehari-hari, artikel ini disusun.
 Awalnya trigonometri hadir sebagai solusi atas pemecahan ukuran atas bangun datar-bangun datar sederhana, seiring berkembangnya zaman trignometri kerap digunakan dalam dunia ilmu terapan (kehidupan sehari-hari), perkembangan ilmu lain, maupun perkambangan ilmu matematika itu sendiri. Di bawah ini, saya akan mencoba memberikan contoh tentang aplikasi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari, adapun aplikasinya adalah:
1. Aplikasi Trigononomerti Pada Ilmu Astronomi
Trigonometri sangat besar manfaatnya dalam ilmu astronomi, karena ukuran benda-benda langit tidak mungkin diukur pakaipenggari, pasti dihutug dengan bermain skala-skala dan sudut-sudut, sehingga dapat diestimasi ukurannya secara akurat. Rumus trigonometri sudut ganda digunakan untuk nilai-nilai ukuran sisi akibat sudut-sudut yang tidak istimewa. Meskipun pemnggunaan kalkulator diijinkan dalam penelitian, namun kalkulator umumnya tidak mampu menganani kasus numeris yang membutuhkan ketelitian tinggi. Karena dalam beberapa kasus numeris, perlakuan tanpa pembulatan adalah metode terbaik.

2. Aplikasi Trigonometri Para Perkembangan Ilmu Teknik Sipil () 
Selain di bidang ilmu astronomi, trigonometri juga sangat erat kaitannya dengan pekerjaan seorang surveyor (ahli ilmu ukur tanah). Pengukuran tanahadalah suatu cabang ilmu alam untuk menentukan posisi ruang dimensi tiga dari suatu tempat pada permukaan bumi. Hasil pengukuran tanah yang diperleh antara lain digunakan untuk membuat peta topografi dari bumi untuk menentukan luas wilayah suatu daerah. Dalam sistem undang-undang agraria zaman sekarang, koordinat eksak batas negara adalah suatu hal yang sangat penting agar batas negara tidak bergeser, seperti yang sering diangkat di media.
Para engineer, khusunya ahli sipil, lebih khususnya lagi ahli geodesi, sangat bergantung pada seorang surveyor. Ketika seorang insinyur membuat perencanaan pembangunan suatu proyek, seperti pembangunan jalan raya, jembatan, bendungan, gedung bertingkat, dll peran surveyor sangat diperlukan. Mirip kalitannya dengan ahli dosimetri dengan dokter spesialis penyakit onkologi. Seorang suveyor juga harus mempersiapkan untuk input data mengenai permukaan bumi dan tanah, setelah itu data diinput pada suatu sistem informasi yang diberi naman GIS (Geographical Information System). Tidak jarang pengamatan untuk menghitung kemingan jalan raya, rel kereta api, dan jembatan, Keahlian trigonometri seorang surveyor sangat mempermudah pekerjaannya sehingga beliau tak perlu terjun langsung ke medan-medan sulit.
3. Aplikasi Trigonometri pada Geografi dan NavigasiTabel trigonometri diciptakan lebih dari dua ribu tahun yang lalu untuk perhitungan dalam astronomi. Bintang-bintang dianggap tetap pada bola kristal dengan ukuran besar, dan model yang sempurna untuk tujuan praktis. Hanya planet berpindah bola. (Pada saat itu ada tujuh planet yang diakui: Merkurius, Venus, Mars, Jupiter, Saturnus, bulan, dan matahari Mereka adalah planet-planet yang kita beri nama hari-hari kami dalam seminggu sesudah Bumi tersebut belum dianggap sebagai.. sebuah planet karena itu adalah pusat alam semesta, dan planet-planet luar tidak ditemukan kemudian) jenis trigonometri yang diperlukan untuk memahami posisi pada bola disebut trigonometri bola.. Trigonometri bola jarang diajarkan sekarang karena tugasnya telah diambil alih oleh aljabar linear. Meskipun demikian, satu aplikasi dari trigonometri adalah astronomi. Seperti bumi juga bola, trigonometri digunakan dalam geografi dan navigasi. Ptolemy (100-178) yang digunakan trigonometri pada geografi dan menggunakan tabel trigonometri dalam karya-karyanya. Columbus membawa salinan dari Regiomontanus ‘Ephemerides Astronomicae pada perjalanan ke Dunia Baru dan menggunakannya untuk keuntungannya.

4. Aplikasi matematika pada teknik kimiaMeskipun trigonometri yang pertama kali diterapkan pada bola, namun ia telah aplikasi yang lebih besar untuk pesawat. Surveyor telah menggunakan trigonometri yang selama berabad-abad. Insinyur, baikinsinyur militer dan sebaliknya, telah menggunakan trigonometri yanghampir sepanjang.Fisika meletakkan tuntutan berat pada trigonometri. Optik dan statika, dua bidang awal fisika yang menggunakan trigonometri, tapi semua cabang trigonometri yang penggunaan fisika sejak bantu trigonometri yang dalam ruang pemahaman. Bidang terkait seperti kimia fisiksecara alami menggunakan trigonometri.

Demikian  aplikasi trigika pada Teknik metri dalam kehidupan sehari-hari, sementara hanya ini yang saya ketahui, semoga dengan menulis ini dapat meningkatkan pemahaman kita tentang aplikasi trigonometri
Saya harapkan anda juga membaca Aplikasi Kalkulus dalam Kehidupan Sehari-hari dan, Aplikasi Ilmu peluang dalam kehidupan Sehari-hari 

Dalam kehidupan sehari – hari kita sering melihat seorang sedang mengukur jalan yang akan diperbaiki ataupun gedung bertingkat yang sedang dibangun. Para arsitek tersebut bekerja dengan menggunakan perbandingan trigonometri.
Trigonometri menemukan penggunaannya yang sempurna pada Arsitektur modern. Kurva-kurva nan indah pada permukaan baja, bebatuan, kayu, dan lain-lain dapat diwujudkan karena potensi yang besar dari ilmu ini.

Teknologi pencitraan dari komputer dapat digunakan dalam dunia kedokteran secara luar biasa untuk menemukan sumber beberapa penyakit ganas.
Itu baru sebagian kecil dari manfaat trigonometri, perlu alasan lain untuk menemukan rumus-rumus trigonometri membantu hidup kita.
Berikut beberapa contoh penggunaan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari, misalya dalam navigasi untuk menemukan jarak dari pantai ke suatu titik di laut.

Trigonometri umumnya juga digunakan dalam mencari ketinggian menara dan pegunungan.

trigonometri juga digunakan dalam oseanografi dalam menghitung ketinggian gelombang air laut

Digunakan untuk mengukur ketinggian suatu pohon

Trigonometri digunakan dalam menemukan jarak antara benda-benda angkasa

Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodik seperti pada gelombang suara dan cahaya.

Arsitek menggunakan trigonometri untuk menghitung beban struktural, kemiringan atap, permukaan tanah dan banyak aspek lain, termasuk bayangan matahari dan sudut cahaya

1 Barisan Deret Dalam Kehidupan Sehari Hari (Artikel 1&2)

---

Jangan Lupa Kembali lagi y...!

---

Penerapan Baris dan Deret dalam Kehidupan Sehari-hari
Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan penad (relevant) diterapkan untuk menganalisisnya. Model perkembangan usaha merupakan penerapan teori Baris dan Deret.  Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang pertumbuhannya konstan dari  waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung. Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal yang berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prsinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variable tersebut. Berpola seperti deret hitung maksudnya di sini ialah bahwa variable yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.


Dasar Teori Deret Hitung
Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.

Rumus Suku ke-n dari Deret Hitung
Suku ke-n dari suatu Deret Hitung dirumuskan sebagai berikut :
Un = a + (n – 1)b

Rumus Jumlah n Suku
Jumlah sebuah Deret Hitung dengan suku tertentu dirumuskan sebagai berikut :
Sn  = n/2 (a + Un)
Contoh Soal yang Berkaitan dengan Baris dan Deret dalam Model Perkembangan Usaha
Perusahaan genteng “Sokajaya” menhasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan , berapa buah genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ?
Jawab :
a = Suku Pertama  = 3.000
b = Pembeda         =    500
n                           =         5
Hasil Bulan Ke-5
 U5       = a + (n – 1 )b
            =  3.000 + (5 – 1 ) 500
            =  3.000 + 2.000
            =  5.0000
Jadi  hasil produksi pada bulan ke-5 adalah 5.000 genteng

Jumlah Produksi genteng sampai bulan ke-5
 S5  =  n/2 (a + U5 )
      =  5/2  (3.000 + 5.000)
      =  5/2  ( 8.000)
      =  20.000
Jadi jumlah produksi henteng selama lima bulan adalah 20.000

Besarnya penerimaan P.T Ccemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp. 720 Juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ke tujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung berapa perkembangan penerimaannya pertahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 Juta?
Jawab :
Penerimaan Tahun Ke-5 :  U5   = 720
U5    = a + (5 – 1 )b
720 = a + 4b
Penerimaan Tahun Ke-7 : U7 =  980
U7    = a + (7 – 1) b
980 = a +6b
a + 4b = 720
a + 6b = 980
-2b = -260
    b = 130

a + 4b = 720
a + 4.130 = 720
a   = 720 – 520
a  = 200
Jadi penerimaan pada tahun pertama adalah Rp. 200 Juta

Penerimaan Tahun Ke-n = 460
Un  = a + (n – 1) b
460 = 200 + ( n – 1 )130
260 = 130n – 130
390 = 130n
     n = 3
Jadi jumlah penerimaan sebesar Rp. 460 juta terjadi pada tahun ketiga
Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ?
Jawab :
Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12
U12 = a + (n – 1) b
      = 5.000 + (12 – 1) 300
      = 5.000 + (11) 300
      = 5.000 + 3.300 = 8.300
Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik

Jumlah keramik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama.
S12 = n/2 (a + U12 )
      = 12/2 (5.000 + 8.300)
      = 6 (13.300)
      = 79.800

Penerimaan Perusahaan Bagus dari hasil penjualannya sebesar Rp. 1,2 miliar pada tahun kelima dan sebesar Rp. 1,8 miliar pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan perusahaan tersebut konstan dari tahun ke tahun, berapakah perkembangan penerimaannya per tahun, berapakah penerimaannya pada tahun pertama dan pada tahun ke berapa penerimaannya mencapai Rp. 2,7 miliar ?
Jawab :
 S7 = 1,8 miliar                        1,8 = a + 6b
S5 = 1,2 miliar                         1,2 = a + 4b  -
0,6 = 2b
b = 0,3 miliar
Sehingga perkembangan penerimaan perusahaan tersebut per tahun : Rp. 300.000.000, Adapun penerimaan pada tahun pertama adalah :

a + 4b              = 1,2
a + 4(0,3)         = 1,2
a + 1,2             = 1,2
       a               = 0
Pada tahun pertama perusahaan tersebut belum memperoleh penerimaan. Adapun penerimaan sebesar 2,7 miliar diterimanya pada tahun :

Sn                     = a + (n-1) b
2,7                   = 0 + (n-1) 0,3
2,7                   = 0 + 0,3n – 0,3
2,7 + 0,3          = 0,3n
            n = 3 / 0,3
n = 10
Jadi penerimaan sebesar Rp. 2,7 miliar diterima perusahaan pada tahun ke-10

0 Persamaan Garis Lurus Dalam Kehidupan Sehari Hari (Artikel 1&2)

---

Jangan Lupa Kembali lagi y...!

---

a.     Bentuk-Bentuk Persamaan garis

1.Bentuk umum
           ax + by + c = 0 atau y = mx + n

2. Persamaan sumbu x ®   y = 0

3. Persamaan sumbu y  ®  x = 0

4. Sejajar sumbu x ® y = k

5. Sejajar sumbu y ® x = k

6. Melalui titik asal dengan gradien m
           y = mx

7. Melalui titik (x1,y1) dengan gradien m
            y -y1 = m (x - x1)

8. Melalui potongan dengan sumbu     di titik (a,0) dan (0,b)
            bx + ay = ab

9. Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)
           (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)
            y-y1 = ((y2-y1)/(x2-x1))(x-x1)

b.     Gradien

Gradien suatu garis lurus adalah : Perbandingan antara

komponen y (ordinat) dan komponen x(absis) antara dua titik pada garis itu. Gradien suatu garis biasanya dinotasikan dengan huruf kecil Perhatikan gambar di bawah ini !

gra  komponen y dari garis AB = y₂ - y₁ ; komponen x dari garis AB = x₂ - x_1, maka :

a.     Macam-Macam Gradienn

>> Macam-macam gradien

·        Gradien bersifat Positif

Garis l condong ke kanan , maka m_l bernilai positif

·        Gradien bersifat Negatif

 

                       Garis k condong ke kiri , maka m_k bernilai negatif

                       Gradien dari sebuah persamaan garis

  Jika sebuah garis mempunyai persamaan ax + by = c,                                                           maka gradien persamaan garis itu ialah : 

·        Gradien garis melalui pangkal koordinat

 

  Garis l melalui pangkal koordinat (0,0) maka      

·        Gradien dua garis yg sejajar

Dua garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama, garis l dan garis k sejajar, maka m_l = m_k

·        Gradien Dua Garis yg Saling Tegak Lurus

Dua garis yang saling tegak lurus perkalian gradiennya adalah -1.Garis l dan garis k saling tegak lurus, maka m_l x m_k = -1.

B. Pemanfaatan Persamaan Garis di Kehidupan

Berikut ini adalah pemanfa’atan persamaan garis beserta profesinya:

a.     Programer

Untuk menjadi seorang progammer yang handal, mereka juga membutuhkan pelajaran dasar matematika tentang persamaan garis. bagi progammer, persamaan garis itu sangatlah penting. Contoh aplikasi yang membutuhkan persamaan garis untuk progammer adalah turbo pascal.

Turbo Pascal, salah satu aplikasi yang menerapkan sistem persamaaan garis

Contoh penerapannya di kehidupan sehari-hari:
      Kalian pasti pernah memasuki bank, RS, atau stasiun pemberhentian kendaraan bukan? Nah disana terdapat sebuah mesin pengambil antrian atau nomor pelanggan yang setiap kali ditekan tombol kendalinya maka akan keluar secarik kertas bertuliskan nomor antrian tersebut. Nah program yang digunakan untuk menjalankan mesin tersebut menggunakan persamaan garis dan bisa diprogram menggunakan turbo pascal.

Contoh dari mesin antrian.

b.     Game maker

Perlu kita ketahui bahwa game-game yang sering kita mainkan itu (terutama game-game berkelas  yang biasanya berkapasitas lebih dari 100 Mb) membutuhkan proses pembuatan yang cukup lama, kejelian yang tinggi, kreativitas yang oke, dan penerapan ilmu matematika "persamaan garis". Salah satu aplikasi pembuat game yang terkenal adalah GAME MAKER. Patut kita ketahui, persamaan garis disini dibutuhkan untuk penempatan letak karakter, penempatan obyek-obyek tertentu yang berada di game tersebut.

 

Penerapan persamaan garis didalam aplikasi game maker

Sims 2, salah satu game yang dibuat menggunakan aplikasi game maker,

 dengan penerapan persamaan garis

C. Penerapan Aplikasi Persamaan Garis

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bidang-bidang yang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus. Misalnya, perhitungan kecepatan-jarak-waktu dalam fisika dan perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi.

Contoh :

1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap 15 km/jam. Setelah 3 jam, mobil tersebut menempuh jarak 45 km. Berapa lama waktu yang diperlukan mobil tersebut untuk menempuh jarak 90 km?

2. Harga dua buah permen dan tiga buah cokelat adalah Rp800,00. Adapun harga sebuah permen dan lima buah cokelat adalah Rp1.100,00. Tentukan:
a. harga sebuah permen,
b. harga sebuah cokelat,
c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat.

Jawab :

1. Coba perhatikan gambar berikut. Gambar tersebut merupakan terjemahan dari soal kecepatan-jarak-waktu yang diberikan. Titik koordinat A (15, 1) merupakan kecepatan mobil, yaitu 15 km/jam. Titik koordinat B (45, 3) merupakan jarak dan waktu tempuh mobil yang diketahui, yaitu 45 km dalam waktu 3 jam. Dari titik A dan B dapat ditarik garis lurus sehingga diperoleh penyelesaian bahwa untuk menempuh jarak 90 km, mobil tersebut memerlukan waktu 6 jam.

2. Untuk menjawab soal ini, ikuti langkah-langkah berikut.
• Gunakan pemisahan untuk nama benda.
Misalkan: permen = x
cokelat = y

• Terjemahkan ke dalam model matematika.
2 permen + 3 cokelat = Rp800,00 berarti 2x + 3y = 800
1 permen + 5 cokelat = Rp1100,00 berarti x + 5y = 1.100
• Ambil salah satu persamaan dan ketentuan salah satu variabelnya.
x + 5y = 1.100 maka x = 1.100 – 5y.
• Substitusikan nilai x ke dalam persamaan yang lain
2x + 3y = 800
2 (1.100 – 5y) + 3y = 800
2.200 – 10y + 3y = 800
2.200 – 7y = 800
–7y = 800 – 2.200
–7y = –1.400
y = 200
• Substitusikan nilai y ke dalam salah satu persamaan.
x + 5y = 1.100
x + 5 (200) = 1.100
x + 1.000 = 1.100
x = 1.100 – 1.000
x = 100
Dengan demikian, diperoleh:
a. harga sebuah permen = x = Rp100,00
b. harga sebuah cokelat = y = Rp200,00
c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat = 4x + y
= 4 (Rp100,00) + (Rp200,00)
= Rp600,00

D.  KESIMPULAN

Persamaan garis memiliki peran yang sangat penting di kehidupan, peran-peran yang penulis tuliskan hanya salah satu dari sekian banyak contoh penerapan persamaan garis di kehidupan.

banyak sekali bidang-bidang yang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus. Misalnya, perhitungan kecepatan-jarak-waktu dalam fisika dan perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi.

Mungkin memang tidak ada alasan spesifik tentang manfaat persamaan garis dari sumbu x dan sumbu y, tetapi untuk beberapa profesi persamaan garis sangatlah diperlukan.